北理工關于李群SU(p,q)的Hasish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數取得研究成果


  日前,北理工數學與統計學院謝迅副研究員在國際數學頂級學術期刊《International Mathematics Research Notices》上發表題為“Gelfand–Kirillov Dimensions of Highest Weight Harish-Chandra Modules for SU(p,q)”的研究論文。該論文給出了SU(p,q)的具有最高權的單模的Gelfand-Kirillov維數的一個算法。這個算法可以用來研究這些單模的Gelfand-Kirillov維數以及伴隨簇的一些性質。

  Gelfand-Kirillov維數是由Gelfand-Kirillov在1966年提出的一個數學概念。現在這個概念已成為李群李代數的表示論度量無限維模大小的一個重要不變量。論文研究的對象是Hermitian型李群SU(p,q)的最高權Harish-Chandra模的Gelfand-Kirillov維數。論文給出了一個簡明的直接從最高權出發得到Gelfand-Kirillov維數的算法。應用的一個基本工具是Lusztig 在1984年的一篇文章中簡略提及的一個公式,Lusztig的這個公式給出了某些最高權模的Gelfand-Kirillov維數與對應Weyl群的元素的a-函數的一個非常漂亮的公式。論文將這個公式推廣到最一般的形式,用以連接半單李代數的任意最高權單模的Gelfand-Kirillov維數和某些Weyl群元素的a-函數。

  A型李代數的Weyl群是對稱群,其a-函數可以由著名的RSK算法給出。論文的第二個想法則是通過RSK算法直接作用在最高權上得到楊圖,進而給出a-函數與Gelfand-Kirillov維數。這樣可以省去通過最高權找相對應Weyl群的元素的步驟。

  由于SU(p,q)的具有最高權的Harish-Chandra模的最高權都是(p,q)-支配的,因此,論文著重研究了A型的具有(p,q)-支配權的最高權模的Gelfand-Kirillov維數。其結論是這些權對應的楊圖最多兩列,因此他們對應的最高權模的Gelfand-Kirillov維數可以由他們對應楊圖的第二列的長度所完全確定,并給出了一個組合模型,解釋如何從(p,q)-支配最高權直接讀出楊圖第二列的長度,進而得出相應Gelfand-Kirillov維數的一些性質。最后,論文重新證明了一些關于SU(p,q)的酉表示的Gelfand-Kirillov維數的結論,并且確定了SU(p,q)的最高權單模的伴隨簇。

  這項研究為Gelfand-Kirillov維數和伴隨簇的研究引入了新方法,即使用Hecke代數的a函數的方法。通過這個方法,可以引入一些組合的方法來研究與Gelfand-Kirillov維數和伴隨簇相關的問題。這為后續研究工作提供了重要的參考價值,這是這篇文章的一大亮點。這篇文章的方法可以考慮推廣到其他經典型的李群的研究,這里面有許多有意思的問題值得進一步探討。特別是關于BCD型a函數的組合算法的研究,目前相關的工作正在研究之中。

  該項研究工作是謝迅副研究員與蘇州大學白占強副教授合作完成,謝迅為通訊作者。本項工作得到北京理工大學學術啟動計劃的資助。

  論文鏈接地址: https://doi.org/10.1093/imrn/rnx247

 

附研究團隊以及個人簡介:

  北京理工大學數學與統計學院代數團隊積極開展國際合作研究和學術交流,團隊負責人胡峻教授以及團隊成員魏豐教授、萬金奎教授、張杰副教授、Michael Ehrig副教授,謝迅博士等與澳大利亞悉尼大學、巴西Universidade Federal do ABC大學、美國弗吉尼亞大學、加拿大Sherbrooke大學的研究人員都有合作。團隊成員分別開展表示論與李理論、代數組合、叢代數的交叉研究,表現出強勁的發展勢頭。

  謝迅,副研究員,北理工數學與統計學院代數團隊成員之一。博士畢業于中國科學院大學,在北京大學做博士后研究,后到悉尼大學訪問一年。長期從事代數群、量子群、Hecke代數的研究。目前,主持國家自然科學基金青年項目,已在International Mathematics Research Notices,Journal of Algebra, Journal of Pure and Applied Algebra 上發表論文4篇。

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